Mayojen matematiikkaa

Mayoilla oli kehittynyt numerojärjestelmä, jonka avulla he selviytyivät monimutkaisistakin laskutoimituksista. Se perustuu yksinkertaisiin, mutta nerokkaisiin oivalluksiin.

Mikään kehittynyt lukujärjestelmä ei toimi ilman nollaa. Vaikka se tuntuukin meistä itsestäänselvyydeltä, näin ei ole aina ollut. Esimerkiksi roomalaiset eivät tunteneet nollaa. Siksi nykyäänkin käyttämistämme ns. roomalaisista luvuista tuli hankalasti käsiteltäviä. Yritäpä tulkita luvut MCMXCVIII ja MCMLXXXIV ja laskea ne yhteen!

Mayat ottivat käyttöön nollan tuhat vuotta aikaisemmin kuin se levisi Eurooppaan arabialaisten välityksellä keskiajalla. Nollan merkkinä käytetään tyyliteltyä simpukkaa. Nollan lisäksi mayojen numerojärjestelmässä on vain kaksi muuta merkkiä: piste, joka tarkoittaa yhtä ja viiva, joka tarkoittaa viittä. Näillä kolmella merkillä voidaan ilmaista kaikki luvut!

Meidän lukujärjestelmämme perustuu numeroon kymmenen. Yksikkölukuja on yhdestä yhdeksään, kymmenen ilmaistaan numeroilla 1 ja 0 eli kymmeniä yksi, yksiköitä 0. Mayat sen sijaan käyttivät kaksikymmenjärjestelmää. Luku 20 tarkoittaa maya-kielissä ihmistä eli sormien ja varpaiden yhteismäärää. Pisteitä voi olla luvussa korkeintaan neljä, minkä jälkeen siirrytään viivaan. Näitä puolestaan voi olla korkeintaan kolme. Näin muodostetaan luvut 1-19:

Luvun 20 mayat kirjoittivat merkein 1 ja 0. Yleisin esitystapa oli, että lukuarvo kasvoi alhaalta ylöspäin eli kahdetkymmenet merkittiin ykkösten yläpuolelle. Vastaavasti seuraava taso eli 400 (20*20) merkittiin kaksikymmenisten yläpuolelle kuten seuraavista esimerkeistä ilmenee.

(Kuvat: The Maya Calendar)

Mayojen matemaattiset taidot eivät kuitenkaan pysähtyneet tähän. He loivat helmitaulua vastaavan järjestelmän, jonka avulla luku- ja laskutaidotonkin henkilö saattoi selviytyä monimutkaisista laskutoimituksista. Taulukko oli helppo piirtää, ykkösiä varten varattiin papuja, viitosiksi pieniä tikkuja ja nolliksi simpukankuoria. Laskeminen tapahtui siirtämällä numeromerkkejä ruudusta toiseen sovitulla tavalla. Seuraavat pari esimerkkiä selventävät tätä.

Ensimmäisessä esimerkissä laskemme yhteen luvut 14 ja 18, maya-merkein (niin hyvin kuin tämän päivän ascii-merkistö kykenee esittämään mayojen lukuja):

••••
—
—

•••
—
—
—

Aloitamme yhteenlaskun yhdistämällä pisteet. Niitä on yhteensä seitsemän. Koska viisi merkitään viivalla, korvaamme viisi pistettä viivalla. Viivoja tulee yhteensä kuusi. Neljä viivaa vastaa yhtä kahtakymmentä, joten poistamme ne ja asetamme pisteen ykkösten yläpuolelle. Saamme alla olevan luvun:

•	1 * 20 = 20
•• — —	12 * 1 = 12
	32

Yhteenlaskun 14 + 18 tulos on maya-järjestelmässä 1.12, kymmenjärjestelmässä (1*20) + (12*1) = 32.

Seuraavaksi teemme hieman monimutkaisemman laskutoimituksen eli suoritamme kertolaskun 22 x 24. Sitä varten asetamme luvut taulukkoon seuraavalla tavalla:

	•	••


•
••••

Kuhunkin ruutuun asetaan tulos, joka saadaan kertomalla vaaka- ja pystysuunnassa olevat luvut eli saamme seuraavanlaisen taulukon:

	•	••	Samalla värillä merkittyjen ruutujen luvut siirretään oikealle ylöspäin ja lasketaan yhteen.


•	•	••
••••	••••	••• —

Yhteenlaskussa samalla rivillä olevien ruutujen merkit yhdistettiin, kertolaskussa sen sijaan vasemmalla olevan ruudun sisältö siirretään vinottain ylöspäin. Tarvittaessa suoritetaan merkin vaihto eli viisi pistettä korvataan viivalla ja neljä viivaa pisteellä, joka asetetaan yläpuoliseen riviin. Saamme seuraavan lopputuloksen:

	•	••

		•	1 * 400 = 400
•		• —	6 * 20 = 120
••••		••• —	8 * 1 = 8
			528

Kertolaskun 22 * 24 tulos on maya-järjestelmässä 1.6.8, kymmenjärjestelmässä (1 * 400) + (6 * 20) + (8 * 1) = 528.

Vastaavalla tavalla, piirtämällä taulukko ja asettamalla luvut sen reunoille, voidaan suorittaa myös vähennys- ja jakolasku. Kun muodostetaan taulukko, jonka molemmissa reunoissa on luvut nousevassa järjestyksessä ja vaaka- ja pystysarakkeen yhtymäkohtaan merkitään kertolaskun tulos, saadaan kertomataulu, josta voidaan lukea myös luvun neliöjuuri.

Mayojen kalenterit

Mayoilla oli myös kehittynyt historiantaju. Tätä kuvastaa erityisesti heidän käyttämänsä pitkä kalenteri, jonka avulla jokainen päivä yksilöidään yksiselitteisesti. Esimerkiksi tämän jutun kirjoittamispäivä (torstai 14.5.1998) ilmaistaan maya-kalenterissa 12.19.5.3.3. Päiväystä voidaan vielä täsmentää kertomalla lyhyen kalenterin kuukauden- ja viikonpäivät, tässä tapauksessa 10 Akbal 16 Wo.

Maya-kalenteri kertoo, montako päivää on kulunut ajanlaskun alkamisesta sekä mikä kuukauden ja viikon päivä on. Ajanlaskun alkupiste on elokuun 13 vuonna 3114 e.Kr. Ei ole tiedossa, miksi mayat valitsivat tämän päivän.

Kalenterilaskuissa käytetään hieman matemaattisesta järjestelmästä poikkeavaa tapaa. Nimittäin satoja ilmaisevan luvun arvo ei ole 400 vaan 360. Näin on menetelty ilmeisesti siksi, että 360 on lähellä aurinkovuoden pituutta, joten kalenterista voidaan helposti nähdä niiden kuluminen (todettakoon, että mayat laskivat aurinkovuoden erittäin tarkasti, he eivät suinkaan kuvitelleet, että aurinkovuosi olisi 360 päivää pitkä).

Edellä mainitusta päiväyksestä 12.19.5.3.3. on siis luettavissa, että ajanlaskun alusta lukien on kulunut:
12 Baktun-kautta (baktun on 20 katunia, noin 400-vuoden jakso)
19 Katun-kautta (katun on 20 tunia, noin 20 vuotta)
5 Tun-kautta (tun on, kuten edellä todettiin, eli 360 päivää eli 18 winalia)
3 Winal-kautta (winal "ihminen" on 20 eli sormet ja varpaat yhdessä)
3 Kiniä (kin on yksi päivä)

Aikana, jolloin mayat kehittivät pitkän kalenterin, Euroopassa aikaa mitattiin vielä lyhyillä kalentereilla eli esim. merkittiin muistiin, että suuri mullistus tapahtui hallitsija sen ja sen 5. vallassaolovuotena. Kun eri hallitsijoiden kaudet menivät osittain päällekkäin, jälkikäteen on erittäin vaikea laskea tarkkaa vuotta. Lisäksi meidän kalenterissamme on tänä päivänäkin pieni puute, joka maya-kalenterissa on otettu huomioon. Meidän ajanlaskussamme ei ole nimittäin lainkaan vuotta 0, koska kalenteria laadittaessa nollaa ei vielä tunnettu. Niinpä voisi todeta, että Kristus syntyi 1-vuotiaana, koska heti hänen syntymänsä jälkeen elettiin vuotta 1 j.Kr.

Samoin kuin me, mayat olivat kiinnostuneita tasavuosista. He uskoivat, että tällöin aikakausi muuttuu. Mayojen klassiselle kaudelle (250-900 j.Kr.) osuivat esimerkiksi vuodet 9.0.0.0.0 ja 10.0.0.0.0. Tasavuosina mayat pystyttivät steeloja, joihin he kirjoittivat päivämäärän lisäksi tietoja sen hetken tapahtumista. Niiden perusteella mayojen historialliset tapahtumat on voitu kiinnittää hyvinkin tarkasti.

Katsomalla edellä mainittua päivämäärää on helppo huomata, että aikakausi on taas muuttumassa, koska 13. baktun on täyttymässä. Astrologien mukaan tämä tapahtuu talvipäivän tasauksen aikaan 21.12.2012, mutta matemaattisesti on helppo laskea, että 13. baktun tulee täyteen vasta huhtikuussa 2013. Jotkut ovat vetäneet tästä johtopäätöksen, että mayat olisivat ennustaneet tuolloin tapahtuvaksi maailmanlopun. Luku 13 on kuitenkin mayojen mielestä erittäin hyvä luku, joten nykyiset mayat itse uskovat, että tämä merkitsee mayoille suotuisamman aikakauden alkua, 400 vuoden sorron päättymistä.

Paluu mayamaa-sivulle

14.05.1998 Sakari Kauppinen